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Wir haben...

• durch den Computer zwei zufällige Primzahlen erzeugen lassen;
• daraus das Produkt und den öffentlichen und den geheimen Subkey gebildet;
• gezeigt, wie man mit dem öffentlichen Schlüssel Nachrichten verschlüsselt;
• gezeigt, wie man mit dem geheimen Schlüssel Nachrichten entschlüsselt.

Diese beiden Primzahlen können so groß gewählt werden, dass es unmöglich ist, sie einzig aus dem öffentlich bekannt gemachten Produkt zu ermitteln. Das begründet die Sicherheit des RSA Algorithmus.

Wir haben gesehen, dass die Rechnerei sogar in diesem einfachen Beispiel recht kompliziert geworden ist. In diesem Fall hat die Person, die den Schlüssel öffentlich gemacht hat, die Zahlen 77 und 13 als öffentlichen Schlüssel bekanntgegeben. Damit kann jedermann dieser Person mit der oben beschriebenen Methode -­ wie im Beispiel der Tabelle 1 -­ eine verschlüsselte Zahl oder Zahlenfolge schicken. Der rechtmäßige Empfänger der verschlüsselten Zahlenfolge kann diese dann mit Hilfe der Zahl 77 und dem geheimen Schlüssel 37 dekodieren.

In diesem einfachen Beispiel ist die Verschlüsselung natürlich nicht sonderlich sicher. Es ist klar, dass 77 das Produkt aus 7 und 11 ist.

Folglich kann man den Code in diesem einfachen Beispiel leicht knacken. Der scharfsinnige Leser wird auch bemerkt haben, dass etliche Zahlen, zum Beispiel die Zahl 11 und ihr Vielfaches (also 22, 33 etc.) und die benachbarten Zahlen sich in sich selbst umwandeln.

Das erscheint als ein weiterer Schwachpunkt dieser Verschlüsselungsmethode: man könnte annehmen, dass die Sicherheit des Algorithmus dadurch beeinträchtigt würde. Doch stellen Sie sich nun vor, das Produkt zweier grosser Primzahlen, die auf absolut willkürliche Art und Weise gewählt werden, ergäbe

114,381,625,757,888,867,669,235,779,976,146,612,010,
218,296,721,242,362,562,561,842,935,706,935,245,733,
897,830,597,123,563,958,705,058,989,075,147,599,290,
026,879,543,541

Hier ist überhaupt nicht mehr ersichtlich, welche die beiden zugrunde liegenden Primzahlen sind. Folglich ist es sehr schwierig, aufgrund des öffentlichen Schlüssels den geheimen Schlüssel zu ermitteln. Selbst den schnellsten Computern der Welt würde es gewaltige Probleme bereiten, die beiden Primzahlen zu errechnen.

Man muss die Primzahlen also nur groß genug wählen, damit ihre Berechnung aus dem Produkt so lange dauert, dass alle bekannten Methoden daran in der Praxis scheitern. Außerdem nimmt der Anteil der Zahlen, die in sich selbst transformiert werden -­ wie wir sie oben in den Tabellen 1 und 2 gefunden haben -- stetig ab, je größer die Primzahlen werden. Von Primzahlen in der Grössenordnung, die wir in der Praxis bei der Verschlüsselung verwenden, ist dieser Teil ist so klein, dass der RSA Algorithmus davon in keiner Weise beeinträchtigt wird.

Je größer die Primzahlen, desto sicherer die Verschlüsselung. Trotzdem kann ein normaler PC ohne weiteres das Produkt aus den beiden großem Primzahlen bilden. Kein Rechner der Welt dagegen kann aus diesem Produkt wieder die ursprünglichen Primzahlen herausrechnen -­ jedenfalls nicht in vertretbarer Zeit.

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